Analízis feladatgyűjtemény I.: 6 / 1, 2, 3, 5, 9, 21, 23, 25, 30, 32, 37
Mely a_n sorozatokra igaz, hogy az előjeleket megfelelően választva a kapott +/- a_1 +/- a_2 +/- a_3 +/- a_4 +/- ... sor konvergens?
Írjuk fel 0 körüli hatványsor alakban a lehető legbővebb intervallumban az alábbi függvényeket! (a) arctg(2x), (b) e^(-x^2), (c) sin(2x^3)
Analízis feladatgyűjtemény I.:
6 / 8, 10, 41, 68, 69, 122
7/ 106, 111, 112, 122
Mely a_n sorozatokra igaz, hogy az előjeleket BÁRHOGYAN választva a kapott +/- a_1 +/- a_2 +/- a_3 +/- a_4 +/- ... sor konvergens?
Meghosszabbított feladat: Mely a_n sorozatokra igaz, hogy az előjeleket megfelelően választva a kapott +/- a_1 +/- a_2 +/- a_3 +/- a_4 +/- ... sor konvergens?
Bizonyítsuk be, hogy ha az |a_{n+1}|/|a_n| sorozat tart egy 1-nél nagyobb számhoz, akkor az a_1+a_2+... sor divergens!
Analízis feladatgyűjtemény I.:
6 / 47-49, 53, 72, 106, 117, 120
8/ 25, 27
9/ 6, 16
Egy láthatatlan bolha percenként ugyanakkorát ugorva az origóból indulva elkezd ugrálni a pozitív irányba a számegyenesen. (Az ugrás hosszát nem ismerjük, az bármekkora pozitív valółs szám lehet.) Az indulás utáni elsĹ perctől kezdve minden percben rácsaphatunk egy 1 hosszóş szakaszra. Megfelelő stratégiával le tudjuk-e garantáltan előbb vagy utóbb lecsapni a bolhát?
Meghosszabbított feladatok: Mely a_n sorozatokra igaz, hogy az előjeleket BÁRHOGYAN választva a kapott +/- a_1 +/- a_2 +/- a_3 +/- a_4 +/- ... sor konvergens?
Mely a_n sorozatokra igaz, hogy az előjeleket megfelelően választva a kapott +/- a_1 +/- a_2 +/- a_3 +/- a_4 +/- ... sor konvergens?
Kiegészítő feladatsor: 3, 4, 5ab, 6, 7, 8, 9b (és esetleg 10)
Analízis feladatgyűjtemény I.: 9.23
Meghosszabbított feladat: Kiegészítő feladatsor: 2
1. Jordan mérhető-e bármely körvonal a síkon?
2. Határozzuk meg (integrálással) a { (x,y,z) : x,y,z ≥ 0, x+y+z ≤ 1 } halmaz térfogatát!
3. Mutassuk meg, hogy a von Koch féle hópehelygörbe önhasonló, és határozzuk meg a hasonlósági dimenzióját! Határozzuk meg a görbe hosszát!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 7.49, 57 (Azt kell meghatározni, hogy milyen x-re konvergensek ezek a sorok), 9.2, 32, 33a, 89
Meghosszabbított feladat: Kiegészítő feladatsor: 2, 4, 9b
Legyen f(x,y)= x, ha y racionális és f(x,y)=0, ha y irracionális. a) b) c) és d) ugyanezek, de a belső integrál helyett felső integrállal e) Integrálható-e f [0,1]x[0.1]-en?
Analízis feladatgyűjtemény I.: 9 / 38, 39, 48, 62
1. Legyen f a Cantor halmaz karakterisztikus függvénye. Bizonyítsuk be, hogy f integrálja [0,1]-en 0.
2. Határozzák meg egy rho(x,y) surusegu H sikbeli mérhető halmaz origóra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát, ha tudjuk, hogy egy m tömegű r távolságban lévő pontnak mr^2 a tehetetlenségi nyomatéka!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 9.65, 72, 86, 107, 113, 115
1. Paraméterezzünk egy körvonalat illetve egy négyzet határát! Folytonos-e a paraméterezésünk? Differenciálható-e? Ha nem, akkor van-e olyan paraméterezés is?
2. Definiáljuk a Koch görbét (rendesen)!
3. Csináljunk térkitöltő Peano-görbét!
4. Mutassuk meg, hogy az előadáson tanult Cantor tételben sem a folytonosság, sem a zártság nem hagyható el!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 10.1, 3, 8, 10, 15, 18, 21
1.Egy hangya helyét a t időpontban az r(t) = (3 cos t) i+(2 sin t) j függvény adja meg, ahol t∈[0,3π/2]. Honnan indul a hangya? Hova érkezik? Hol van t=π/5-ben? Mennyi a sebessége t=π/3-ban? Írjuk fel a pályagörbe érintőjének az egyenletét t=π/6-ban?
2. Van két azonos magasságú henger. Az egyik sugara 10cm, a másik sugara 5cm. Mindkét hengerre az aljától a tetejéig felcsavarunk egy-egy cérnaszálat úgy, hogy a cérnaszál érintője mindig 60 fokos szöget zárjon be a vízszintes síkkal. Melyik cérnaszál lesz hosszabb?
3. Igaz-e a Lagrange féle középértéktétel síkon, azaz igaz-e, hogy ha f:[a,b]→R2 folytonos, (a,b)-n differenciálható, akkor van olyan c∈(a,b), amelyre f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)?
Analízis feladatgyűjtemény I.: 10/22, 23, 27
1. Egy 4cm átmérőjű, kör keresztmetszetű csövön málnaszörp folyik.
Az áramlás sebessége a cső tengelyétől r cm-re (3-r)^2 cm/s.
a) Írjunk fel egy kétváltozós integrált (alkalmas síkbeli tartományon),
amely megadja, hogy mennyi szörp
folyik keresztül a csövön másodpercenként!
b) Próbáljuk kiszámolni az integrált!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 9/89, 103, 115 (még egyszer) és 10/28, 30