Határozzuk meg az alábbi halmazok belső mértékét, külső mértékét és mértékét és döntsük el, hogy mérhetőek-e! a) [0,1] x [0,1] b) [0,1] x [0,1] x {6} c) [0,1] x [0,1] racionális koordinátájú pontjai d) {(x,y) : x eleme [0,1]-nek, y eleme [0,x^2]-nek} e) Cantor halmaz
Analízis feladatgyűjtemény I.: 5 / 61, 62, 64, 70, 165, 174, 175, 176, 179
Legyen H = {(x,y) : x eleme [4,16], y eleme [gyök x -3,x]}. Határozzuk meg a H halmaz H_x szekcióit! Felhasználva, hogy H mérhető, határozzuk meg a mértékét!
Legyen H = {(x,y) : x eleme [0,1], y eleme [0,f(x)]}, ahol a) f(x)=0, ha x=1/n valamilyen pozitív egész n-re, f(x)=0 különben. b) f a Dirichlet függvény (azaz f(x)=1, ha x racionális, f(x)=0 különben). Mérhető-e H?
Analízis feladatgyűjtemény I.: 5 / 180, 183, 187, 194, 195, 198
Ismétlő feladatok: Analízis feladatgyűjtemény I.: 4 / 229, 231, 233, 241
Kiegeszito feladatsor: 1, 3, 5, 6, 8ab
Analízis feladatgyűjtemény I.: 5 / 206, 209
Meghosszabbitva: Legyen H = {(x,y) : x eleme [0,1], y eleme [0,f(x)]}, ahol f a Dirichlet függvény (azaz f(x)=1, ha x racionális, f(x)=0 különben). Mérhető-e H?
Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Valós analízis II.:
21.1
Kiegeszito feladatsor: 2, 8cd, 9
Analízis feladatgyűjtemény I.:
5 / 29, 30, 74, 84, 173
1. Van-e konvergens részsorozata a (sin n, cos n) sorozatnak?
2. Be lehet-e festeni végtelen sok pontot pirosra a) [0,1] x [0,1]-en b) az x^2+y^2<1 körlapon c) az {(x,y):x^2 < y < 2x^2} halmazon úgy, hogy a piros pontok halmazának ne legyen torlódási pontja?
3. Van-e olyan halmaz a síkon, melynek torlódási pontjai az alábbi halmazt alkotják: a) {egész számok} x {egész számok} b) {racionális számok} x {racionális számok}
Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 41-46
Meghosszabbitva:
Kiegeszito feladatsor: 2
és
Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Valós analízis II.:
21.1b
Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 76, 81
Meghosszabbitva: Előző gyakorlat 2a, 2c, 3b.
Oktatófilm a nyílt és zárt halmazok zavarbaejtő definíciójáról
Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 7, 10, 20, 21, 22 (a 7-es és 10-es feladatoknál csak a nyíltság, zártság és korlátosság)
1. Zárt-e illetve nyílt-e a [0,1) intervallum?
2. Igaz-e, hogy a) véges sok zárt halmaz uniója zárt? b) végtelen sok zárt halmaz uniója zárt? c) véges sok nyílt halmaz uniója nyílt? d) végtelen sok nyílt halmaz uniója nyílt?
3. Milyen n esetén igaz, hogy bármely n-változós polinom értékkészlete zárt halmaz?
4. Bizonyítsuk be, hogy R^p egy részhalmaza pontosan akkor fedhető le gömbbel, ha lefedhető téglával!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 11, 88, 92, 98, 103, 152-154 (Van-e maximum? Van-e minimum?), 156, 159, 160, 174
Meghosszabbitva: Előző gyakorlat 2b, 2d, 3-as n=1-re.
Beadható: Mutassuk meg, hogy bármely n>1-re van olyan n-változós polinom, melynek értékkészlete nem zárt halmaz!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 114, 115, 125, 128a-f
1. Differenciálható-e (1,2)-ben illetve (0,0)-ban? Ha igen, határozzuk meg az érintő egyenletét! a) négyzetgyök(x^2+y^2) b) x sin(y)
2. Legyen f(x,y)=y^2 ha x=0 és f(x,y)=x különben. Hol differenciálható f?
3. Van-e olyan differenciálható függvény, amelyre f(x,0)=f(0,y)=0 és f(x,x)=x teljesül minden valós x,y-ra?
4. Legyen f(x,y)=0, ha (x,y)=(0,0) és f(x,y)=x^2 y / (x^4 + y^2) különben. a) Határozzuk meg az iránymenti deriváltjait az origóban! b) Differenciálható-e az origóban?
Meghosszabbitva: Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 160
Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 107, 116, 118, 120, 127, 132, 161
Adjuk meg az összes olyan f(x,y) függvényt, melyre a sík minden (x,y) pontjában teljesül a) D_1 f(x,y)=0 és D_2 f(x,y)=0 ! b) D_1 f(x,y)=1 és D_2 f(x,y)=0 ! c) D_1 f(x,y)=1 és D_2 f(x,y)=1 !
Meghosszabbitva: Előző alkalom 3. és 4. feladata, valamint Analízis feladatgyűjtemény I.: 8 / 160