1. heti gyakorlat: (2017.02.14.)
Analízis feladatgyűjtemény I.: 4.48, 51, 57, 60, 61, 70, 71, 95, 98 (invertálhatóság bizonyítása nélkül), 103, 105, 106, 125
Adjunk meg olyan függvényt, amely valamelyik pontban differenciálható, de nem kétszer diffható!
2. heti gyakorlat (2017.02.21.):
Analízis feladatgyűjtemény I.: 4.155, 158, 162, 165
Egyváltozós analízis 1 kiegészítő példatár.: 1.107-111
1. Biz. be azt az előadáson tanult tételt, mely szerint ha f a-ban diffhó és f'(a)>0, akkor f a-ban szig. lok. nő.
2. Legyen f(x) (a,b)-n diffható.
Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között:
P: f (a,b)-n mon. nő
Q: f minden (a,b)-beli c-ben lok. nő
A 2. feladatnál az egyik irány sokkal könnyebb, csak az kötelező feladat. A nehéz feladat beadható.
Meghosszabbított feladat: Adjunk meg olyan függvényt, amely valamelyik pontban differenciálható, de nem kétszer diffható!
3. heti gyakorlat (2017.02.28.):
1. Tf. hogy az f:R->R diffható függvénynek legalább 3 gyöke van. Legalább hány gyöke van biztosan f'-nek?
2. Adjuk meg az összes olyan f:R->R diffható függvényt, melyre f'(x)=3x^2. Analízis feladatgyűjtemény I.: 4.132, 169, 173-176, 184
Egyváltozós analízis 1 kiegészítő példatár.: 1.117, 118, 125
Meghosszabbított feladat: 1. Biz. be azt az előadáson tanult tételt, mely szerint ha f a-ban diffhó és f'(a)>0, akkor f a-ban szig. lok. nő.
2. Legyen f(x) (a,b)-n diffható.
Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között:
P: f (a,b)-n mon. nő
Q: f minden (a,b)-beli c-ben lok. nő
A 2. feladatnál az egyik irány sokkal könnyebb, csak az kötelező feladat. A nehéz feladat beadható.
1. Végezzük el az 1/(sin x) függvény teljes függvényvizsgálatát!
2. Adjunk
a) szükséges
b) elégséges
feltételt arra, hogy egy a-ban 3-szor diffható függvénynek a-ban
inflexiós pontja van!
3. Tegyük fel, hogy az f függvény a-ban 2017-szer diffható, f'(a)=f''(a)=...=f(2016)(a)=0 és f(2017)(a)>0. Mit mondhatunk ekkor a-ban lokálisan?
4. Határozzuk meg az xx függvény minimumát a pozitív számok halmazán!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 4.177, 178, 191, 193, 220
Meghosszabbított feladat: Analízis feladatgyűjtemény I.: 4.132
0. Határozzuk meg az (x - sin x)/(x + sin x) függvény határértékét 0-ban és végtelenben!
1. Határozzuk meg az e^x függvény 0-beli 0., 1., 2., 3. és n. Taylor polinomját!
2. Határozzuk meg az x^2 függvény 1-beli 0., 1., 2., 3. és n. Taylor polinomját!
3. Bizonyítsuk be az előadáson tanult tételt, mely szerint ha az f függvény n-szer differenciálható a-ban, és t_n az a pontbeli n. Taylor polinomja, akkor (f(x)-t_n(x))/(x-a)^n tart 0-hoz a-ban!
4. Végezzük el az x^x függvény teljes függvényvizsgálatát!
5. Határozzuk meg a cos(x) függvény 0-beli 0., 1., 2., 3., 4. és 5. Taylor polinomját!
6. Rajzoltassuk ki géppel sin(x) és cos(x) Taylor polinomjait!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 4.134, 137, 143, 144, 154
1. Legyen f(x)=1, ha x pozitív, 0 különben. Bizonyítsuk be, hogy az f függvénynek nincs prim. fv-e a számegyenesen!
2. Egy autó 72 km/h sebességgel békésen halad, amikor egy adott pillanatban háttérhatalmak átveszik az autó felett az irányítást úgy, hogy t másodperc elteltével 2 sin (t/5) m/s^2 legyen az autó gyorsulása. Mennyi utat tesz így meg az autó 1 perc alatt?
Analízis feladatgyűjtemény I.: 5.3, 11, 12, 15, 26, 34, 38
1. Legyen f(x)=1, ha x=0, 0 különben. Határozzuk meg a [0,1] intervallumon f alsó összegeit, felső összegeit, alsó integrálját, felső integrálját, döntsük el, hogy integrálható-e, és ha igen, akkor adjuk meg az integrálját!
2. Határozzuk meg a tg x függvény határozatlan integrálját!
3. Határozzuk meg az arctg x függvény határozatlan integrálját!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 5.61, 73, 77, 113, 114, 126
1. Határozzuk meg a tg x függvény határozott integrálját [0,pi]-n!
2. Tegyük fel, hogy f:[a,b]-> R és itt m ≤ f ≤ M. Bizonyítsuk be, hogy ekkor f minden alsó összege, felső összege, az alsó és felső integrálja mind legalább m(b-a) és legfeljebb M(b-a)!
3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges korlátos f:[a,b]-> R függvénynek van véges alsó és felső integrálja!
4. Bizonyítsuk be, hogy ha f integrálható [a,b]-n és [b,c]-n, akkor [a,c]-n is, és az [a,c]-n vett integrál az [a,b]-n és [b,c]-n vett integrálok összege!
5. Határozzuk meg a konstans c függvény integrálját [a,b]-n csak a definíciókból!
6. Határozzuk meg az f(x)=x függvény integrálját [0,1]-en a Newton-Leibniz szabály nélkül!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 5.146, 147, 163, 165, 169
1. Határozzuk meg egy r sugarú m magasságú kúp térfogatát (integrálással)!
2. Bizonyítsuk be, hogy ha f integráható [a,b]-n, c valós szám, akkor cf is integráható [a,b]-n és az integrálja f integráljának c-szerese!
3. Bizonyítsuk be, hogy ha f és g integrálható [a,b]-n és itt f legfeljebb g, akkor f integrálja [a,b]-n legfeljebb akkora mint g integrálja!
4 .Legyen T egy olyan négyzet alapú gúla, amelynek alaplapjának csúcsai a (±1, ±1, 0) koordinátájú pontok, a felső csúcsa pedig (2,2,2)-ben van. Határozzuk meg T vízszintes síkokkal vett metszeteit, majd (integrálás segítségével) T térfogatát!
5. Van egy ásó gépünk, amelynek működési költsége attól függ, hogy épp milyen mélyen tart: h méter mélységből 100 h3/2 forintba kerül 1 m3 föld kitermelése. Mennyibe kerül ez alapján a géppel kiásatni egy 4 m élhosszúságú kocka alakú gödröt?
Analízis feladatgyűjtemény I.: 5.178, 184, 194, 198
1. Legyen an= √n+1 -√n. Bizonyítsuk be, hogy az an sorozat tart 0-hoz, de az a_1+a_2+... sor divergens!
Analízis feladatgyűjtemény I.: 6.2, 4, 9, 11, 17, 18 (nem elég az előadáson kimondott állításra hivatkozni), 22, 23, 24, 115
Meghosszabbított feladatok:
2. Legyen T egy olyan négyzet alapú gúla, amelynek alaplapjának csúcsai a (±1, ±1, 0) koordinátájú pontok, a felső csúcsa pedig (2,2,2)-ben van. Határozzuk meg T vízszintes síkokkal vett metszeteit, majd (integrálás segítségével) T térfogatát!
3. Van egy ásó gépünk, amelynek működési költsége attól függ, hogy épp milyen mélyen tart: h méter mélységből 100 h3/2 forintba kerül 1 m3 föld kitermelése. Mennyibe kerül ez alapján a géppel kiásatni egy 4 m élhosszúságú kocka alakú gödröt?